Một hoán vị "đổi chỗ" phần tử thứ nhất với phần tử thứ nhất, phần tử thứ hai với phần tử thứ hai,..., nghĩa là trên thực tế không đổi chỗ các phần tử, được gọi là phép hoán vị đồng nhất.

Nếu có một hoán vị P, chúng ta có thể mô tả một hoán vị P−1, làm mất tác dụng của việc áp dụng phép P. Nghĩa là, áp dụng phép P rồi đến P−1 cho kết quả giống như áp dụng phép hoán vị đồng nhất. Chúng ta luôn có một hoán vị như vậy vì một hoán vị là một phép song ánh. Hoán vị như vậy được gọi là hoán vị nghịch đảo.

Chúng ta có thể định nghĩa tích của hai hoán vị. Nếu chúng ta có hai hoán vị, P và Q, kết quả của việc áp dụng P rồi đến Q sẽ giống như việc áp dụng một hoán vị R nào đó. Lưu ý rằng R có thể chính là P hoặc Q. Tích của P và Q được định nghĩa bằng hoán vị R. Chi tiết hơn, có thể đọc nhóm đối xứng và nhóm hoán vị.

Một hoán vị chẵn là một hoán vị có thể biểu diễn dưới dạng tích của một số chẵn các phép chuyển vị, như vậy hoán vị đồng nhất là một hoán vị chẵn bởi vì nó bằng (1 2)(1 2). Một hoán vị lẻ là một hoán vị có thể biểu diễn dưới dạng tích của một số lẻ các phép chuyển vị. Có thể chứng tỏ rằng mỗi hoán vị hoặc là chẵn, hoặc là lẻ và không thể có cả hai tính chất này.

Chúng ta cũng có thể biểu diễn hoán vị dưới dạng ma trận - ma trận kết quả được gọi là ma trận hoán vị.